Algèbre linéaire Exemples

$[\begin{array}{c} 3 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 1

Définissez la formule pour déterminer l’équation caractéristique $p (λ)$ .

$p (λ) = déterminant (A - λ I_{4})$

Étape 2

La matrice d’identité ou matrice d’unité de taille $4$ est la matrice carrée $4 \times 4$ avec les uns sur la diagonale principale et les zéros ailleurs.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 3

Remplacez les valeurs connues dans $p (λ) = déterminant (A - λ I_{4})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Remplacez $A$ par $[\begin{array}{c} 3 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 3 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] - λ I_{4})$

Étape 3.2

Remplacez $I_{4}$ par $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 3 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Étape 4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Multipliez $- λ$ par chaque élément de la matrice.

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 3 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 3 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.2

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.2.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 3 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.2.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 3 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.3.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 3 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.3.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 3 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.4

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.4.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 3 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.4.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 3 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.5

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.5.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 3 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.5.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 3 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 3 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.7

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.7.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 3 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.7.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 3 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.8

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.8.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 3 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.8.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 3 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.9

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.9.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 3 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.9.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 3 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.10

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.10.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 3 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.10.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 3 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.11

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 3 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.12

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.12.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 3 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.12.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 3 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.13

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.13.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 3 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.13.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 3 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.14

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.14.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 3 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.14.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 3 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.15

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.15.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 3 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.15.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 3 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.16

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 3 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Étape 4.2

Additionnez les éléments correspondants.

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 3 - λ & 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 3 - λ & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 - λ & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Étape 4.3

Simplify each element.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 3 - λ & 1 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 3 - λ & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 - λ & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 3 - λ & 1 & 0 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 3 - λ & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 - λ & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.3

Additionnez $0$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 3 - λ & 1 & 0 & 0 \\ 1 + 0 & 3 - λ & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 - λ & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.4

Additionnez $1$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 3 - λ & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 3 - λ & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 - λ & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.5

Additionnez $0$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 3 - λ & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 3 - λ & 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 - λ & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.6

Additionnez $0$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 3 - λ & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 3 - λ & 0 & 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 - λ & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.7

Additionnez $0$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 3 - λ & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 3 - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 + 0 & 0 - λ & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.8

Additionnez $0$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 3 - λ & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 3 - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 - λ & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.9

Soustrayez $λ$ de $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 3 - λ & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 3 - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.10

Additionnez $0$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 3 - λ & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 3 - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.11

Additionnez $0$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 3 - λ & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 3 - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.12

Additionnez $0$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 3 - λ & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 3 - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.13

Additionnez $0$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 3 - λ & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 3 - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.14

Soustrayez $λ$ de $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 3 - λ & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 3 - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \end{array}]$

Étape 5

Find the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $3$ by its cofactor and add.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + & - \\ - & + & - & + \\ + & - & + & - \\ - & + & - & + \end{array} |$

Étape 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Étape 5.1.3

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 3 - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array} |$

Étape 5.1.4

Multiply element $a_{31}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 3 - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array} |$

Étape 5.1.5

The minor for $a_{32}$ is the determinant with row $3$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 - λ & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array} |$

Étape 5.1.6

Multiply element $a_{32}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 3 - λ & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array} |$

Étape 5.1.7

The minor for $a_{33}$ is the determinant with row $3$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 - λ & 1 & 0 \\ 1 & 3 - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array} |$

Étape 5.1.8

Multiply element $a_{33}$ by its cofactor.

$- λ | \begin{array}{c} 3 - λ & 1 & 0 \\ 1 & 3 - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array} |$

Étape 5.1.9

The minor for $a_{34}$ is the determinant with row $3$ and column $4$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 - λ & 1 & 0 \\ 1 & 3 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} |$

Étape 5.1.10

Multiply element $a_{34}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 3 - λ & 1 & 0 \\ 1 & 3 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} |$

Étape 5.1.11

Add the terms together.

$p (λ) = 0 | \begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 3 - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 3 - λ & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array} | - λ | \begin{array}{c} 3 - λ & 1 & 0 \\ 1 & 3 - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 3 - λ & 1 & 0 \\ 1 & 3 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} |$

Étape 5.2

Multipliez $0$ par $| \begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 3 - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = 0 + 0 | \begin{array}{c} 3 - λ & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array} | - λ | \begin{array}{c} 3 - λ & 1 & 0 \\ 1 & 3 - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 3 - λ & 1 & 0 \\ 1 & 3 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} |$

Étape 5.3

Multipliez $0$ par $| \begin{array}{c} 3 - λ & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = 0 + 0 - λ | \begin{array}{c} 3 - λ & 1 & 0 \\ 1 & 3 - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 3 - λ & 1 & 0 \\ 1 & 3 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} |$

Étape 5.4

Multipliez $0$ par $| \begin{array}{c} 3 - λ & 1 & 0 \\ 1 & 3 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} |$ .

$p (λ) = 0 + 0 - λ | \begin{array}{c} 3 - λ & 1 & 0 \\ 1 & 3 - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array} | + 0$

Étape 5.5

Évaluez $| \begin{array}{c} 3 - λ & 1 & 0 \\ 1 & 3 - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $3$ by its cofactor and add.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 5.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Étape 5.5.1.3

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 3 - λ & 0 \end{array} |$

Étape 5.5.1.4

Multiply element $a_{31}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 3 - λ & 0 \end{array} |$

Étape 5.5.1.5

The minor for $a_{32}$ is the determinant with row $3$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 - λ & 0 \\ 1 & 0 \end{array} |$

Étape 5.5.1.6

Multiply element $a_{32}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 3 - λ & 0 \\ 1 & 0 \end{array} |$

Étape 5.5.1.7

The minor for $a_{33}$ is the determinant with row $3$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 - λ & 1 \\ 1 & 3 - λ \end{array} |$

Étape 5.5.1.8

Multiply element $a_{33}$ by its cofactor.

$- λ | \begin{array}{c} 3 - λ & 1 \\ 1 & 3 - λ \end{array} |$

Étape 5.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = 0 + 0 - λ (0 | \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 3 - λ & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 3 - λ & 0 \\ 1 & 0 \end{array} | - λ | \begin{array}{c} 3 - λ & 1 \\ 1 & 3 - λ \end{array} |) + 0$

Étape 5.5.2

Multipliez $0$ par $| \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 3 - λ & 0 \end{array} |$ .

$p (λ) = 0 + 0 - λ (0 + 0 | \begin{array}{c} 3 - λ & 0 \\ 1 & 0 \end{array} | - λ | \begin{array}{c} 3 - λ & 1 \\ 1 & 3 - λ \end{array} |) + 0$

Étape 5.5.3

Multipliez $0$ par $| \begin{array}{c} 3 - λ & 0 \\ 1 & 0 \end{array} |$ .

$p (λ) = 0 + 0 - λ (0 + 0 - λ | \begin{array}{c} 3 - λ & 1 \\ 1 & 3 - λ \end{array} |) + 0$

Étape 5.5.4

Évaluez $| \begin{array}{c} 3 - λ & 1 \\ 1 & 3 - λ \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.4.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = 0 + 0 - λ (0 + 0 - λ ((3 - λ) (3 - λ) - 1 \cdot 1)) + 0$

Étape 5.5.4.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.4.2.1.1

Développez $(3 - λ) (3 - λ)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.4.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = 0 + 0 - λ (0 + 0 - λ (3 (3 - λ) - λ (3 - λ) - 1 \cdot 1)) + 0$

Étape 5.5.4.2.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = 0 + 0 - λ (0 + 0 - λ (3 \cdot 3 + 3 (- λ) - λ (3 - λ) - 1 \cdot 1)) + 0$

Étape 5.5.4.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = 0 + 0 - λ (0 + 0 - λ (3 \cdot 3 + 3 (- λ) - λ \cdot 3 - λ (- λ) - 1 \cdot 1)) + 0$

Étape 5.5.4.2.1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.4.2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.4.2.1.2.1.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$p (λ) = 0 + 0 - λ (0 + 0 - λ (9 + 3 (- λ) - λ \cdot 3 - λ (- λ) - 1 \cdot 1)) + 0$

Étape 5.5.4.2.1.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$p (λ) = 0 + 0 - λ (0 + 0 - λ (9 - 3 λ - λ \cdot 3 - λ (- λ) - 1 \cdot 1)) + 0$

Étape 5.5.4.2.1.2.1.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$p (λ) = 0 + 0 - λ (0 + 0 - λ (9 - 3 λ - 3 λ - λ (- λ) - 1 \cdot 1)) + 0$

Étape 5.5.4.2.1.2.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = 0 + 0 - λ (0 + 0 - λ (9 - 3 λ - 3 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 1 \cdot 1)) + 0$

Étape 5.5.4.2.1.2.1.5

Multipliez $λ$ par $λ$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.4.2.1.2.1.5.1

Déplacez $λ$ .

$p (λ) = 0 + 0 - λ (0 + 0 - λ (9 - 3 λ - 3 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 1 \cdot 1)) + 0$

Étape 5.5.4.2.1.2.1.5.2

Multipliez $λ$ par $λ$ .

$p (λ) = 0 + 0 - λ (0 + 0 - λ (9 - 3 λ - 3 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 1 \cdot 1)) + 0$

Étape 5.5.4.2.1.2.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$p (λ) = 0 + 0 - λ (0 + 0 - λ (9 - 3 λ - 3 λ + 1 λ^{2} - 1 \cdot 1)) + 0$

Étape 5.5.4.2.1.2.1.7

Multipliez $λ^{2}$ par $1$ .

$p (λ) = 0 + 0 - λ (0 + 0 - λ (9 - 3 λ - 3 λ + λ^{2} - 1 \cdot 1)) + 0$

Étape 5.5.4.2.1.2.2

Soustrayez $3 λ$ de $- 3 λ$ .

$p (λ) = 0 + 0 - λ (0 + 0 - λ (9 - 6 λ + λ^{2} - 1 \cdot 1)) + 0$

Étape 5.5.4.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = 0 + 0 - λ (0 + 0 - λ (9 - 6 λ + λ^{2} - 1)) + 0$

Étape 5.5.4.2.2

Soustrayez $1$ de $9$ .

$p (λ) = 0 + 0 - λ (0 + 0 - λ (- 6 λ + λ^{2} + 8)) + 0$

Étape 5.5.4.2.3

Remettez dans l’ordre $- 6 λ$ et $λ^{2}$ .

$p (λ) = 0 + 0 - λ (0 + 0 - λ (λ^{2} - 6 λ + 8)) + 0$

Étape 5.5.5

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.5.1

Associez les termes opposés dans $0 + 0 - λ (λ^{2} - 6 λ + 8)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.5.1.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$p (λ) = 0 + 0 - λ (0 - λ (λ^{2} - 6 λ + 8)) + 0$

Étape 5.5.5.1.2

Soustrayez $λ (λ^{2} - 6 λ + 8)$ de $0$ .

$p (λ) = 0 + 0 - λ (- λ (λ^{2} - 6 λ + 8)) + 0$

Étape 5.5.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = 0 + 0 - λ (- λ \cdot λ^{2} - λ (- 6 λ) - λ \cdot 8) + 0$

Étape 5.5.5.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.5.3.1

Multipliez $λ$ par $λ^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.5.3.1.1

Déplacez $λ^{2}$ .

$p (λ) = 0 + 0 - λ (- (λ^{2} λ) - λ (- 6 λ) - λ \cdot 8) + 0$

Étape 5.5.5.3.1.2

Multipliez $λ^{2}$ par $λ$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.5.3.1.2.1

Élevez $λ$ à la puissance $1$ .

$p (λ) = 0 + 0 - λ (- (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 6 λ) - λ \cdot 8) + 0$

Étape 5.5.5.3.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$p (λ) = 0 + 0 - λ (- λ^{2 + 1} - λ (- 6 λ) - λ \cdot 8) + 0$

Étape 5.5.5.3.1.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$p (λ) = 0 + 0 - λ (- λ^{3} - λ (- 6 λ) - λ \cdot 8) + 0$

Étape 5.5.5.3.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = 0 + 0 - λ (- λ^{3} - 1 \cdot - 6 λ \cdot λ - λ \cdot 8) + 0$

Étape 5.5.5.3.3

Multipliez $8$ par $- 1$ .

$p (λ) = 0 + 0 - λ (- λ^{3} - 1 \cdot - 6 λ \cdot λ - 8 λ) + 0$

Étape 5.5.5.4

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.5.4.1

Multipliez $λ$ par $λ$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.5.4.1.1

Déplacez $λ$ .

$p (λ) = 0 + 0 - λ (- λ^{3} - 1 \cdot - 6 (λ \cdot λ) - 8 λ) + 0$

Étape 5.5.5.4.1.2

Multipliez $λ$ par $λ$ .

$p (λ) = 0 + 0 - λ (- λ^{3} - 1 \cdot - 6 λ^{2} - 8 λ) + 0$

Étape 5.5.5.4.2

Multipliez $- 1$ par $- 6$ .

$p (λ) = 0 + 0 - λ (- λ^{3} + 6 λ^{2} - 8 λ) + 0$

Étape 5.6

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.6.1

Associez les termes opposés dans $0 + 0 - λ (- λ^{3} + 6 λ^{2} - 8 λ) + 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.6.1.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$p (λ) = 0 - λ (- λ^{3} + 6 λ^{2} - 8 λ) + 0$

Étape 5.6.1.2

Soustrayez $λ (- λ^{3} + 6 λ^{2} - 8 λ)$ de $0$ .

$p (λ) = - λ (- λ^{3} + 6 λ^{2} - 8 λ) + 0$

Étape 5.6.1.3

Additionnez $- λ (- λ^{3} + 6 λ^{2} - 8 λ)$ et $0$ .

$p (λ) = - λ (- λ^{3} + 6 λ^{2} - 8 λ)$

Étape 5.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = - λ (- λ^{3}) - λ (6 λ^{2}) - λ (- 8 λ)$

Étape 5.6.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.6.3.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ^{3} - λ (6 λ^{2}) - λ (- 8 λ)$

Étape 5.6.3.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ^{3} - 1 \cdot 6 λ \cdot λ^{2} - λ (- 8 λ)$

Étape 5.6.3.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ^{3} - 1 \cdot 6 λ \cdot λ^{2} - 1 \cdot - 8 λ \cdot λ$

Étape 5.6.4

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.6.4.1

Multipliez $λ$ par $λ^{3}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.6.4.1.1

Déplacez $λ^{3}$ .

$p (λ) = - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ) - 1 \cdot 6 λ \cdot λ^{2} - 1 \cdot - 8 λ \cdot λ$

Étape 5.6.4.1.2

Multipliez $λ^{3}$ par $λ$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.6.4.1.2.1

Élevez $λ$ à la puissance $1$ .

$p (λ) = - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ^{1}) - 1 \cdot 6 λ \cdot λ^{2} - 1 \cdot - 8 λ \cdot λ$

Étape 5.6.4.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$p (λ) = - 1 \cdot - 1 λ^{3 + 1} - 1 \cdot 6 λ \cdot λ^{2} - 1 \cdot - 8 λ \cdot λ$

Étape 5.6.4.1.3

Additionnez $3$ et $1$ .

$p (λ) = - 1 \cdot - 1 λ^{4} - 1 \cdot 6 λ \cdot λ^{2} - 1 \cdot - 8 λ \cdot λ$

Étape 5.6.4.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$p (λ) = 1 λ^{4} - 1 \cdot 6 λ \cdot λ^{2} - 1 \cdot - 8 λ \cdot λ$

Étape 5.6.4.3

Multipliez $λ^{4}$ par $1$ .

$p (λ) = λ^{4} - 1 \cdot 6 λ \cdot λ^{2} - 1 \cdot - 8 λ \cdot λ$

Étape 5.6.4.4

Multipliez $λ$ par $λ^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.6.4.4.1

Déplacez $λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{4} - 1 \cdot 6 (λ^{2} λ) - 1 \cdot - 8 λ \cdot λ$

Étape 5.6.4.4.2

Multipliez $λ^{2}$ par $λ$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.6.4.4.2.1

Élevez $λ$ à la puissance $1$ .

$p (λ) = λ^{4} - 1 \cdot 6 (λ^{2} λ^{1}) - 1 \cdot - 8 λ \cdot λ$

Étape 5.6.4.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$p (λ) = λ^{4} - 1 \cdot 6 λ^{2 + 1} - 1 \cdot - 8 λ \cdot λ$

Étape 5.6.4.4.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$p (λ) = λ^{4} - 1 \cdot 6 λ^{3} - 1 \cdot - 8 λ \cdot λ$

Étape 5.6.4.5

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$p (λ) = λ^{4} - 6 λ^{3} - 1 \cdot - 8 λ \cdot λ$

Étape 5.6.4.6

Multipliez $λ$ par $λ$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.6.4.6.1

Déplacez $λ$ .

$p (λ) = λ^{4} - 6 λ^{3} - 1 \cdot - 8 (λ \cdot λ)$

Étape 5.6.4.6.2

Multipliez $λ$ par $λ$ .

$p (λ) = λ^{4} - 6 λ^{3} - 1 \cdot - 8 λ^{2}$

Étape 5.6.4.7

Multipliez $- 1$ par $- 8$ .

$p (λ) = λ^{4} - 6 λ^{3} + 8 λ^{2}$

Étape 6

Définissez le polynôme caractéristique égal à $0$ pour déterminer les valeurs propres $λ$ .

$λ^{4} - 6 λ^{3} + 8 λ^{2} = 0$

Étape 7

Résolvez $λ$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1.1

Factorisez $λ^{2}$ à partir de $λ^{4} - 6 λ^{3} + 8 λ^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1.1.1

Factorisez $λ^{2}$ à partir de $λ^{4}$ .

$λ^{2} λ^{2} - 6 λ^{3} + 8 λ^{2} = 0$

Étape 7.1.1.2

Factorisez $λ^{2}$ à partir de $- 6 λ^{3}$ .

$λ^{2} λ^{2} + λ^{2} (- 6 λ) + 8 λ^{2} = 0$

Étape 7.1.1.3

Factorisez $λ^{2}$ à partir de $8 λ^{2}$ .

$λ^{2} λ^{2} + λ^{2} (- 6 λ) + λ^{2} \cdot 8 = 0$

Étape 7.1.1.4

Factorisez $λ^{2}$ à partir de $λ^{2} λ^{2} + λ^{2} (- 6 λ)$ .

$λ^{2} (λ^{2} - 6 λ) + λ^{2} \cdot 8 = 0$

Étape 7.1.1.5

Factorisez $λ^{2}$ à partir de $λ^{2} (λ^{2} - 6 λ) + λ^{2} \cdot 8$ .

$λ^{2} (λ^{2} - 6 λ + 8) = 0$

Étape 7.1.2

Factorisez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1.2.1

Factorisez $λ^{2} - 6 λ + 8$ à l’aide de la méthode AC.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $8$ et dont la somme est $- 6$ .

$- 4, - 2$

Étape 7.1.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$λ^{2} ((λ - 4) (λ - 2)) = 0$

Étape 7.1.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$λ^{2} (λ - 4) (λ - 2) = 0$

Étape 7.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$λ^{2} = 0$

$λ - 4 = 0$

$λ - 2 = 0$

Étape 7.3

Définissez $λ^{2}$ égal à $0$ et résolvez $λ$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.1

Définissez $λ^{2}$ égal à $0$ .

$λ^{2} = 0$

Étape 7.3.2

Résolvez $λ^{2} = 0$ pour $λ$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$λ = \pm \sqrt{0}$

Étape 7.3.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$λ = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 7.3.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$λ = \pm 0$

Étape 7.3.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$λ = 0$

Étape 7.4

Définissez $λ - 4$ égal à $0$ et résolvez $λ$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.4.1

Définissez $λ - 4$ égal à $0$ .

$λ - 4 = 0$

Étape 7.4.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$λ = 4$

Étape 7.5

Définissez $λ - 2$ égal à $0$ et résolvez $λ$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.5.1

Définissez $λ - 2$ égal à $0$ .

$λ - 2 = 0$

Étape 7.5.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$λ = 2$

Étape 7.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $λ^{2} (λ - 4) (λ - 2) = 0$ vraie.

$λ = 0, 4, 2$